Question

【題目】在四棱錐中，底面是正方形，底面，，、、分別是棱、、的中點，對于平面截四棱錐所得的截面多邊形，有以下三個結論：

①截面的面積等于；

②截面是一個五邊形；

③截面只與四棱錐四條側棱中的三條相交．

其中，所有正確結論的序號是______．

Answer 1

【答案】②③

【解析】

取的中點，的四等分點，順次連接、、、、，則平面即為過、、的平面截四棱錐所得截面，計算出截面面積，根據截面形狀可判斷命題①②③的正誤.

取的中點，的四等分點，順次連接、、、、，

則平面即為過、、的平面截四棱錐所得截面，如下圖所示：

在四棱錐中，底面是正方形，底面，，

、分別為、的中點，且，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，

為的中點，為的中點，，

同理可得，且，

平面，平面，，

四邊形為正方形，則，

，平面，平面，，

則，所以，四邊形為矩形，其面積為，

設，，則為的中點，為的中點，

，，

平面，平面，平面平面，，且，

的邊上的高為，

的面積為.

所以，截面面積為，命題①錯誤；

該截面是一個五邊形，命題②正確；

由圖可知，截面與四棱錐側棱、、相交，命題③正確.

故答案為：②③.