Question

（2012•長春模擬）在△ABC中，∠BAC=120°，|

AB

|=2，|

AC

|=1，點(diǎn)P滿足

BP

=λ

BC

（0≤λ≤1），則

BP

2-

AP

•

BC

的取值范圍是（　�。�

• A．[

  1

  4

  ，3]
• B．[

  1

  2

  ，5]
• C．[-2，

  15

  4

  ]
• D．[

  13

  4

  ，5]

Answer 1

分析：由余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC可求BC，然后由正弦定理得，

AC

sinB

=

BC

sinA

可求sinB，然后可求cosB，而

BP

2-

AP

•

BC

利用向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可求解

解答：解：在△ABC中，∠BAC=120°中，
根據(jù)余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=

4+1-2×2×1cos120°

=

7

根據(jù)正弦定理得，

AC

sinB

=

BC

sinA

∴

1

sinB

=

7

sin120°

∴sinB=

3

2 7

∴cosB=

5

2 7

從而有

BP

2-

AP

•

BC

=(λ

BC

)2+(

AB

+λ

BC

)•

BC

=7λ2-2×

7

×(-

5

2 7

)-7λ
=7(λ-

1

2

)2+

13

4

又0≤λ≤1，所以

BP

2-

AP

•

BC

的取值范圍是[

13

4

，5]
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)的靈活應(yīng)用是求解的關(guān)鍵