Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以HF、GE所在直線(xiàn)分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．若R、R′分別在線(xiàn)段0F、CF上，且==.

(Ⅰ)求證：直線(xiàn)ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓：+=1上；

(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)GM與直線(xiàn)GN的斜率之積為，求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)；并求△GMN面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)題意，先求解直線(xiàn)ER與GR′的方程，進(jìn)而聯(lián)立方程組得到其交點(diǎn)P，然后證明點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系。

（2）當(dāng)時(shí)，

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）∵，∴，              1分

又  則直線(xiàn)的方程為        ①      2分

又 則直線(xiàn)的方程為           ②

由①②得

∵

∴直線(xiàn)與的交點(diǎn)在橢圓上              4分

（Ⅱ）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，設(shè)

不妨取 ∴ ,不合題意    5分

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè) 

聯(lián)立方程 得

則

      7分

又

即

將代入上式得

解得或（舍）

∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)                      10分

∴，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為

∴

由及知：，令 即

∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 13分

考點(diǎn)：直線(xiàn)于橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)得到求解，屬于中檔題。主要是對(duì)于運(yùn)算能力的考查。