Question

7．若拋物線y²=2px（p＞0）上一點M到準線及對稱軸的距離分別為5和4，若點M在焦點F的右側(cè)，則此時M點的橫坐標為1或4，拋物線方程為y²=4x或y²=16x．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知M的縱坐標為4，設(shè)M（a，4），利用點M在拋物線上和拋物線的定義，即可得到關(guān)于p的一個方程，求解即可得到p的值，從而求得點M的橫坐標、拋物線方程．

解答 解：∵M是拋物線y²=2px（p＞0）上的點，且M到對稱軸的距離為4，
則M的縱坐標為4，設(shè)M（a，4），
根據(jù)M是拋物線y²=2px（p＞0）上的點，
∴4²=2pa，故a=$\frac{8}{p}$，
根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，M到此拋物線的準線的距離為$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$，
又∵M到此拋物線的準線的距離為5，
∴$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=5，
即p²-10p+16=0，
解得p=2或p=8，
故a=4或a=1，
點M的橫坐標為1或4．拋物線方程為y²=4x或y²=16x
故答案為：1或4；y²=4x或y²=16x．

點評 本題考查了拋物線的定義，拋物線的標準方程，拋物線的性質(zhì)．求解圓錐曲線相關(guān)問題時，要注意其定義的應(yīng)用，比如拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離，解題時要多注意它的運用．屬于中檔題．