Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{lg（-x），x＜0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+f（x）+t=0有三個(gè)不同的實(shí)根，則t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2]
• B． [1，+∞）
• C． [-2，1]
• D． （-∞，-2]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)m=f（x），將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式關(guān)系進(jìn)行求即可．

解答 解：設(shè)m=f（x），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則m≥1時(shí)，m=f（x）有兩個(gè)根，
當(dāng)m＜1時(shí)，m=f（x）有1個(gè)根，
若關(guān)于x的方程f²（x）+f（x）+t=0有三個(gè)不同的實(shí)根，
則等價(jià)為m²+m+t=0有2個(gè)不同的實(shí)根，且m≥1或m＜1，
當(dāng)m=1時(shí)，t=-2，
此時(shí)由m²+m-2=0得m=1或m=-2，滿足f（x）=1有兩個(gè)根，f（x）=-2有1個(gè)根，滿足條件
當(dāng)m≠1時(shí)，
設(shè)h（m）=m²+m+t，
則h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，
則t＜-2，
綜上t≤-2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解決本題的根據(jù)，利用數(shù)形結(jié)合以及換元法是解決本題的關(guān)鍵．