Question

【題目】設(shè)數(shù)列A： ， ,… ().如果對(duì)小于()的每個(gè)正整數(shù)都有 ＜ ，則稱是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組成的集合.

（1）對(duì)數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；

（2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則 ；

（3）證明：若數(shù)列A滿足- ≤1（n=2,3, …,N）,則的元素個(gè)數(shù)不小于 -.

Answer 1

【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題（Ⅰ）關(guān)鍵是理解“G時(shí)刻”的定義，根據(jù)定義即可寫出的所有元素；

（Ⅱ）要證，即證中含有一元素即可；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.只要證明當(dāng)時(shí)結(jié)論仍然成立即可.

試題解析：（Ⅰ）的元素為和.

（Ⅱ）因?yàn)榇嬖?/span>使得，所以.

記，

則，且對(duì)任意正整數(shù).

因此，從而.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.

以下設(shè).

由（Ⅱ）知.

設(shè).記.

則.

對(duì)，記.

如果，取，則對(duì)任何.

從而且.

又因?yàn)?/span>是中的最大元素，所以.

從而對(duì)任意，，特別地，.

對(duì).

因此.

所以.

因此的元素個(gè)數(shù)p不小于.