Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量 =（﹣1，2），又點(diǎn)A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．
（1）若 ⊥ ，且| |= | |，求向量 ；
（2）若向量 與向量 共線，常數(shù)k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；
（3）當(dāng)（2）問(wèn)中f（θ）的最大值4時(shí)，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵ ，

∴8﹣n+2t=0

又 ，∴（n﹣8）2+t2=5×64得t=±8，

∴ 或（﹣8，﹣8）

（2）解： ，

∵向量 與向量 共線，

∴t=﹣2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（﹣2ksinθ+16）sinθ=

① ，∴ 時(shí)，f（θ）=tsinθ取最大值為 ，

sinθ=﹣1時(shí)，f（θ）取得最小值為﹣2k﹣16，

此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇﹣2k﹣16， ]

② ，

∴sinθ=1時(shí)，tsinθ取最大值為﹣2k+16，

sinθ=﹣1時(shí)，f（θ）取得最小值為﹣2k﹣16，

此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇﹣2k﹣16，﹣2k+16]．

（3）解：①當(dāng)k＞4時(shí)，由 =4，得k=8，此時(shí) ， ，

∴

②當(dāng)0＜k＜4時(shí)，由﹣2k+16=4，得k=6，（舍去）

綜上所述，∴ =32

【解析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于n，t的方程組，并解即可．（2）向量 與向量 共線，得出f（θ）=tsinθ=（﹣2ksinθ+16）sinθ，利用配方法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解．（3）根據(jù)（2）問(wèn)中f（θ）的最大值4時(shí)，建立方程關(guān)系求出k或θ，求 即可．