Question

17．（1）已知x∈R，m=x²-1，n=2x+2．求證：m，n中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)．
（2）已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求證：（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8．

Answer 1

分析 （1）用反證法證明即可；
（2）利用基本不等式即可證明．

解答 （1）證明：假設(shè)m＜0且n＜0，所以 m+n＜0．
又m+n=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，
所以，m，n中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)；
（2）證明：因?yàn)閍，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，
則：（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{a+b+c-a}{a}$•$\frac{a+b+c-b}$•$\frac{a+b+c-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}$•$\frac{a+b}{c}$≥2$\frac{\sqrt{bc}}{a}$•2$\frac{\sqrt{ac}}$•2$\frac{\sqrt{ab}}{c}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明，常采用發(fā)證法和基本不等式，屬于中檔題．