Question

在直三棱柱中，，，D、E分別是棱、，的中點．

（I）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

解法一：（I）證明：取的中點G，連結EC、DG，

則∥且＝                      

    ∴四邊形為平行四邊形，

∴∥                                      

    又∵面，DG面

∴∥面                                                                           

（Ⅱ）延長CA交的延長線于點P，連結BP，過點A作AQ⊥，垂足為Q，連結BQ，

∵

∴

    ∴為二面角的平面角．                                       

在Rt△ADP中，

∴

∴

∴                                                   

解法二：

（I）以A為坐標原點，AB、AC、分

別為軸、y軸、軸建立空間直角坐標系，則有A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），（0，0。2），（2，0，2），（0，2，2），D（0，0，1），E（1，1，2）．    

   ∴ ，

   

    設是平面的一個法向量．則

                                                                                                 

    ∴                                                                

    令，得

∴

∴

∵面

∴∥面                                                                                  

（Ⅱ）∵

    ∴是面的一個法向量．

    ∵∴，又                                            

   ∴

∴二面角的余弦值為.