Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=4+a_n，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n為a_n與a_n+1的等比中項，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}^{2}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）直接利用等差數(shù)列的通項公式即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知$\frac{1}{_{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$），進而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=4+a_n，且a₁=1，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3；
（2）由（1）可知${_{n}}^{2}$=a_na_n+1=（4n-3）（4n+1），
∴$\frac{1}{_{n}^{2}}$=$\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{n}{4n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．