Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3•5•…•（2n-1）時，當(dāng)n=k+1時，其形式是

（k+2）（k+3）…（2k+2）=2^k+1•1•3•5•…•（2k+1）

．

Answer 1

分析：題目是求解利用數(shù)學(xué)歸納法證題時當(dāng)n=k+1時的步驟，當(dāng)n=k時的步驟給出了，那么當(dāng)n=k+1時應(yīng)把要證的等式左邊減n就換k+1，讓其出現(xiàn)歸納假設(shè)左邊的形式，然后代入歸納假設(shè)，整理后右邊也要出現(xiàn)和n=k時一樣的形式，不同的是k換成了k+1．

解答：解：用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3•5•…•（2n-1）時，
第一步是驗證當(dāng)n=1時結(jié)論成立，
第二步是歸納假設(shè)，假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即（k+1）（k+2）…（k+k）=2^k•1•3•5•…•（2k-1），
那么當(dāng)n=k+1時（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k+1）=（k+2）（k+3）…（2k+2）
=

k+1

k+1

（k+2）（k+3）…（k+k）（k+1+k）（2k+2）=

1

k+1

2^k•1•3•5•…•（2k-1）（2k+1）（2k+2），
=2^k+1•1•3•5•…•（2k-1）（2k+1），
故答案為（k+2）（k+3）…（2k+2）=2^k+1•1•3•5•…•（2k-1）（2k+1）．

點評：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，運用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時，一定要用上歸納假設(shè)，并且當(dāng)n=k+1時要與n=k時保持形式上一致．