Question

11．設過點P（2，2）的直線與橢圓x²+2y²=16交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，代入橢圓方程，利用點差法求出AB所在直線的斜率，利用直線方程的點斜式得答案．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=16$，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=16$，
兩式相減得${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=-2（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）$，
變形可得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
由P為線段AB的中點可知，x₁+x₂=4，y₁+y₂=4，
于是AB的斜率為-$\frac{1}{2}$，
由點斜式可得AB方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-6=0．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓練了“點差法”求中點弦的斜率，是中檔題．