Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x），f′（0）＞0，并且函數(shù)y=

f(x)

的定義域為R，則

f(1)

f′(0)

的最小值為（　�。�

• A、

  5

  2

• B、

  3

  2

• C、3
• D、2

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）的值域為[0，+∞），可得對于任意實數(shù)x，f（x）≥0成立求出a的范圍及a，b c的關(guān)系，求出f（1）及f′（0），作比后放縮去掉c，通分后利用基本不等式求最值．

解答： 解：∵f（x）的值域為[0，+∞），
即f（x）≥0恒成立，
∴

a＞0  △=b2-4ac≤0

，
∴c≥

b2

4a

．
又∵f′（x）=2ax+b，
∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．
∴

f(1)

f′(0)

=1+

a+c

b

≥1+

a+ b2 4a

b

=1+

4a2+b2

4ab

≥1+

2 4a2•b2

4ab

=2．
當(dāng)且僅當(dāng)4a²=b²時，“=”成立．
即

f(1)

f′(0)

的最小值為2．
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的運算，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是通過放縮轉(zhuǎn)化為含有兩個變量的代數(shù)式，是中檔題．