Question

已知數列{a_n}的通項a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，b_n=a_na_n+1，設S_n是數列{a_n}的前n項和．若b_n-λS_n＞0對任意n∈N^*都成立，則λ的取值范圍是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：先表示出b_n，S_n，分n為正奇數，正偶數兩種情況進行討論，從b_n-λS_n＞0中分離出參數λ后轉化為求數列的最小值即可，借助數列的單調性可求最值．

解答：解：由a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，得b_n=a_na_n+1=

1

9

[2n-(-1)n][2n+1-(-1)n+1]，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

3

{（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]，
①當n為正奇數時，b_n-λS_n=

1

9

(2n+1)(2n+1-1)-

1

3

λ（2ⁿ⁺¹-1）＞0對任意n∈N^*都成立，
因為2ⁿ⁺¹-1＞0，所以

1

9

(2n+1)-

λ

3

＞0，即λ＜

1

3

(2n+1)對任意正奇數n都成立，
又因為數列{

1

3

(2n+1)}遞增，
所以當n=1時，

1

3

(2n+1)有最小值1，所以λ＜1；
②當n為正偶數時，b_n-λS_n=

1

9

(2n-1)(2n+1+1)-

1

3

λ(2n+1-2)＞0，即

1

9

(2n-1)(2n+1+1)-

2

3

λ(2n-1)＞0對任意n∈N*都成立，
又因為2ⁿ-1＞0，所以

1

9

(2n+1+1)-

2

3

λ＞0，即λ＜

1

6

（2ⁿ⁺¹+1）對任意正偶數n都成立，
又因為數列{

1

6

(2n+1+1)}遞增，
所以當n=2時，

1

6

(2n+1+1)有最小值

3

2

，所以λ＜

3

2

；
綜上所述，λ的取值范圍是（-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點評：本題考查數列求和、數列與不等式的綜合，考查轉化思想、分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，本題運算量較大．