Question

(20) 如圖，已知長方體直線與平面所成的角為，垂直于，為的中點.

（I）求異面直線與所成的角；

（II）求平面與平面所成的二面角；

（III）求點到平面的距離.

Answer 1

20．解法一：

在長方體中，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖。

由已知可得。

又平面，從而與平面所成的角為，

又，，，

從而易得

（I）∵

      ∴=

即異面直線所成的角為

（II）易知平面的一個法向量設是平面的一個法向量，

由

取

∴

即平面與平面所成的二面角的大�。ㄤJ角）為

（III）點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值，所以距離

=

所以點到平面的距離為

解法二：    (Ⅰ)連結B₁D₁，過F作B₁D₁的垂線，垂足為K，

         ∵BB₁與兩底面ABCD，A₁B₁C₁D₁都垂直，

         ∴

          又

因此  FK∥AE.

∴∠BFK 為異面直線BF與AE所成的角。

連結BK，由FK⊥面BDDB得FK⊥BK。

從而   △BKF為Rt△

由得

FK===

又        BF=

∴cos∠BFK=。

∴異面直線BF與AE所成的角為arcos。

（Ⅱ）由于DA⊥面AA₁B，由A作BF的垂線AG，垂足為G，連結DG，由三垂線定理知BG⊥DG。

 ∴∠AGD即為平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角

   且∠DAG=90°，在平面AA₁B中，延長BF與AA₁交于點S。

∵F為A₁B₁的中點，A₁FAB。

∴A₁、F分別為SA、SB的中點。

即SA=2A₁A=2=AB。

∴Rt△BAS為等腰直角三角形，垂足G點實為斜邊SB的中點F，即F、G重合，

易得AG=AF=SB=，在Rt△BAS中，AD=，

∴tan∠AGD=

∴∠AGD=arctan

即平面BDF與平面AA₁B所成二面角（銳角）的大小為arctan

（Ⅲ）由(Ⅱ)知平面AFD是平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角所在的平面，

∴面AFD⊥面BDF。

在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，則AH即為點A到平面BDF的距離，

由  AH·DF=AD·AF，得

所以點A到平面BDF的距離為 。