Question

4．若數列{a_n}滿足a_n=$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$，則a_n的最小值為$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 作差a_n+1-a_n=$\frac{{2}^{n}（{n}^{2}-2n-1）}{（{n}^{2}+n）^{2}}$，對n分類討論即可得出大小關系．

解答 解：a_n+1-a_n=$\frac{{2}^{n+1}}{（n+1）^{2}}$-$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{{2}^{n}（{n}^{2}-2n-1）}{（{n}^{2}+n）^{2}}$，
n=1，2，a₁＞a₂＞a₃；
n≥3，a_n+1＞a_n＞…＞a₃．
則a_n的最小值為a₃=$\frac{8}{9}$．
故答案為：$\frac{8}{9}$．

點評 本題考查了數列的單調性、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．