Question

（12分）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，且橢圓C的離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)P在直線上，過(guò)P作直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且P為線段MN中點(diǎn)，再過(guò)P作直線.證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓過(guò)點(diǎn)，且橢圓C的離心率為，建立關(guān)于的方程組，可解得的值，即可得橢圓的方程.

（Ⅱ）由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，并且點(diǎn)P是MN的中點(diǎn).直線有兩種情況，斜率存在時(shí)聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去y，由x的二次方程根據(jù)韋達(dá)定理，再寫出直線的方程，即可得到直線過(guò)定點(diǎn).另外再檢驗(yàn)斜率不存在的時(shí)同樣過(guò)定點(diǎn).由此即可的結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，又橢圓C的離心率為，所以，

即，所以，所以橢圓C的方程為

（Ⅱ）設(shè)，，

①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為，，

由，得，

所以，因?yàn)镻為MN中點(diǎn)，所以，即，

所以，因?yàn)橹本�，所以，所以直線的方程為

，即，顯然直線恒過(guò)定點(diǎn)

②當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為，

此時(shí)直線為x軸，也過(guò)點(diǎn) 綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn)

（此題還可以用點(diǎn)差法）

考點(diǎn)：1.橢圓的方程的性質(zhì).2.直線與橢圓的位置關(guān)系.3.分類思想.4.運(yùn)算能力.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

• 題型：
• 難度：
• 考核：
• 年級(jí)：