Question

如圖，拋物線(xiàn)C₁：x²＝4y，C₂：x²＝－2py(p＞0)．點(diǎn)M(x₀，y₀)在拋物線(xiàn)C₂上，

過(guò)M作C₁的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B(M為原點(diǎn)O時(shí)，A，B重合于O)．當(dāng)x₀＝1－時(shí)，切線(xiàn)MA的斜率為－.

(1)求p的值；

(2)當(dāng)M在C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A，B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O)．

Answer 1

解　(1)因?yàn)閽佄锞�(xiàn)C₁：x²＝4y上任意一點(diǎn)(x，y)的切線(xiàn)斜率為y′＝，且切線(xiàn)MA的斜率為－，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，

故切線(xiàn)MA的方程為y＝－(x＋1)＋.

因?yàn)辄c(diǎn)M(1－，y₀)在切線(xiàn)MA及拋物線(xiàn)C₂上，

于是y₀＝－(2－)＋＝－，①

y₀＝－＝－.②

由①②得p＝2.

(2)設(shè)N(x，y)，A，B，x₁≠x₂，

由N為線(xiàn)段AB中點(diǎn)知x＝.③

y＝.④

切線(xiàn)MA，MB的方程為

y＝(x－x₁)＋，⑤

y＝(x－x₂)＋.⑥

由⑤⑥得MA，MB的交點(diǎn)M(x₀，y₀)的坐標(biāo)為

x₀＝，y₀＝.

因?yàn)辄c(diǎn)M(x₀，y₀)在C₂上，即x＝－4y₀，

所以x₁x₂＝－.⑦

由③④⑦得x²＝y，x≠0.

當(dāng)x₁＝x₂時(shí)，A，B重合于原點(diǎn)O，AB中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿(mǎn)足x²＝y.

因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x²＝y.