Question

已知函數(shù)

（I）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（II）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II） (Ⅲ) 實數(shù)的最大值為0

【解析】

試題分析：（I）

因為為的極值點，所以，即，

解得。經(jīng)檢驗，合題意 

（II）因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以

在上恒成立。

?當時，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故 符合題意。         6分                                   

?當時，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，

故只能，所以在上恒成立。  

令函數(shù)，其對稱軸為，

因為，所以，

要使在上恒成立，

只要即可，即，

所以。

因為，所以。

綜上所述，a的取值范圍為。 

（Ⅲ）當時，方程可化為。

問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即求函數(shù)的值域。

因為函數(shù)，令函數(shù)， 

則，

所以當時，，從而函數(shù)在上為增函數(shù)，

當時，，從而函數(shù)在上為減函數(shù)，

因此。

而，所以，因此當時，b取得最大值0.   

考點：本小題主要考查導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，考查學生分類討論思想的應(yīng)用.

點評：導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，求極值時要注意驗根，因為極值點處的導數(shù)值為0，但是導數(shù)值為0的點不一定是極值點，涉及到含參數(shù)問題，一般離不開分類討論，分類標準要盡量做到不重不漏.