Question

17．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的內切圓交CA，CB于點D，E，點P是圖中陰影區(qū)域內的一點（不包含邊界）．若$\overrightarrow{CP}$=x$\overrightarrow{CD}$+y$\overrightarrow{CE}$，則x+y的值可以是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 求出內切圓半徑，根據三點共線原理得出x+y分別對于1，2，4，8時P點的軌跡，從而判斷出答案．

解答 解：設圓心為O，半徑為r，則OD⊥AC，OE⊥BC，∴3-r+4-r=5，解得r=1．
連結DE，則當x+y=1時，P在線段DE上，排除A；
在AC上取點M，在CB上取點N，使得CM=2CD，CN=2CE，連結MN，∴$\overrightarrow{CP}$=$\frac{x}{2}$$\overrightarrow{CM}$+$\frac{y}{2}$$\overrightarrow{CN}$．
則點P在線段MN上時，$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2}$=1，故x+y=2．
同理，當x+y=4或x+y=8時，P點不在三角形內部．排除C，D．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，三點共線原理，屬于中檔題．