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已知函數(shù)，（其中）．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，求正實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）求證：當時，．（說明：e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

 

【答案】

（Ⅰ）極小值為，無極大值（Ⅱ）（Ⅲ）問題等價于．由（Ⅰ）知的最小值為．設(shè)，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，

∵=，∴，∴，故當時，

【解析】

試題分析：（Ⅰ），

∴（，），

由，得，由，得，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的極小值為，無極大值．  4分

（Ⅱ）函數(shù)，

則，

令，∵，解得，或（舍去），

當時，，在上單調(diào)遞減；

當時，，在上單調(diào)遞增．

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，

只需即∴

故實數(shù)a的取值范圍是．   9分

（Ⅲ）問題等價于．由（Ⅰ）知的最小值為．

設(shè)，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∴，

∵=，

∴，∴，故當時，．  14分

考點：函數(shù)極值最值

點評：求函數(shù)極值最值都需要首先找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問將函數(shù)存在零點轉(zhuǎn)化為最值邊界值的范圍，第三問將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，這兩種轉(zhuǎn)化是函數(shù)綜合題中經(jīng)�？嫉降�

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=·,其中=(sinωx+cosωx,cosωx), =(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω＞0).若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于.

(1)求ω的取值范圍；

(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=,b+c=3(b＞c)，當ω最大時，f(A)=1,求邊b,c的長.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年浙江省五校聯(lián)盟高三下學期第一次聯(lián)考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知,函數(shù)，，(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)),

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）是否存在實數(shù)，使得的最小值為3. 若存在，求出的值，若不存在，說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省等三校高三2月月考數(shù)學文卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），

（Ⅰ）設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若對于任意實數(shù)≥0，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當時，是否存在實數(shù)，使曲線C：在點

處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年天津市高三十校聯(lián)考理科數(shù)學 題型：解答題

．（14分）已知函數(shù)，，其中

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值

（Ⅱ）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆云南省高一期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

已知函數(shù)，（其中）的周期為π，且圖象上一個最低點為。

 (1)求的解析式；

(2)當時，求的最值

 

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