Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過(guò)定點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出b，利用離心率求出a，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程為，代入整理得

， 與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，.

設(shè)，，直線，的斜率分別為，，利用韋達(dá)定理證明

即可.

解：（1）依題意可設(shè)圓方程為，

圓與直線相切，.，

由解得，

橢圓的方程為.

（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程為，代入整理得

，

與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，即.

設(shè)，，直線，的斜率分別為，

則，.

，

即.