Question

如圖一，平面四邊形關于直線對稱，．把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對于圖二，完成以下各小題：

（1）求兩點間的距離；

（2）證明：平面；

（3）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）2；（2）證明詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）取的中點，先證得就是二面角的平面角，再在中利用余弦定理即可求得兩點間的距離；（2）欲證線面垂直：平面，轉化為證明線線垂直：，，即可；（3）欲求直線與平面所成角，先結合（1）中的垂直關系作出直線與平面所成角，最后利用直角三角形中的邊角關系即可求出所成角的正弦值．

試題解析：（1）取的中點，連接，

由，得：，

就是二面角的平面角，．

在中，

．

（2）由，，

，

， 又平面．

（3）方法一：由（1）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，則平面，

就是與平面所成的角．

方法二：設點到平面的距離為，

∵

于是與平面所成角的正弦為．

方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系，

則．

設平面的法向量為n，則

n， n，

取，則n， 于是與平面所成角的正弦即

．

考點：1、點、線、面間的距離計算；2、直線與平面垂直的判定；3、直線與平面所成的角；4、空間向量的應用．