Question

3．已知曲線C的方程是x⁴+y²=1．關(guān)于曲線C的幾何性質(zhì)，給出下列三個結(jié)論：
①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱；
②曲線C關(guān)于直線y=x對稱；
③曲線C所圍成的區(qū)域的面積大于π．
其中，所有正確結(jié)論的序號是①③．

Answer 1

分析 分析關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)（x，y）點(diǎn)（-x，-y），是否都在曲線上，可判斷①；分析關(guān)于直線y=x對稱的兩個點(diǎn)（x，y）點(diǎn)（y，x），是否都在曲線上，可判斷②； 求出曲線C所圍成的區(qū)域面積，可判斷③．

解答 解：將方程中的x換成-x，y換成-y方程不變，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱，故①正確；
將方程中的x換成y，y換成x，方程變?yōu)閥⁴+x²=1與原方程不同，故②錯誤；
在曲線C上任取一點(diǎn)M（x₀，y₀），x₀⁴+y₀²=1，
∵|x₀|≤1，
∴x₀⁴≤x₀²，
∴x₀²+y₀²≥x₀⁴+y₀²=1，即點(diǎn)M在圓x²+y²=1外，
故③正確；
故正確的結(jié)論的序號是：①③，
故答案為：①③

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是曲線Cx⁴+y²=1的圖象和性質(zhì)，對稱性的判斷，面積的求解，難度中檔．