Question

【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，圓是的內(nèi)切圓，在邊，，上的切點(diǎn)分別為，，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形的面積為定值.

【解析】

（1）根據(jù)條件得動(dòng)點(diǎn)滿足的等式，再根據(jù)橢圓定義求軌跡方程，注意根據(jù)三角形去掉軸上的點(diǎn)，（2）先確定直線斜率存在，再設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量坐標(biāo)關(guān)系得D坐標(biāo)，代入橢圓方程得，最后利用點(diǎn)到直線距離公式得高，利用弦長(zhǎng)公式得底邊邊長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形面積公式得結(jié)果.

解：（1）由題意：，，∴ ，

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（不含軸上的點(diǎn)），

∴曲線的方程為；

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)在軸上，不在曲線上，故不合題意；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，，

聯(lián)立方程可得：，

則，，，

∴，∴，即：，

此時(shí)，

，

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，

∴四邊形的面積為：，

故四邊形的面積為定值.