Question

已知圓，直線。

（Ⅰ）求證：對(duì)，直線與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn).

（Ⅱ）設(shè)與圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】本試題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

解：

（1）

解法一：

圓的圓心為，半徑為。

∴圓心C到直線的距離…………3分

∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；……………………6分

 

解法二：

由方程可得：m(x-1)-y+1=0,令x=1,則y=1

∴對(duì)于恒過(guò)定點(diǎn)P(1,1),又1²+(1-1)²<5     ………………………3分

∴P點(diǎn)在圓C內(nèi)部

∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)； ……………………6分

（2）由（1）得過(guò)定點(diǎn)P(1,1)

當(dāng)M與P不重合時(shí)，連結(jié)CM、CP，則，

∴  （或者k_CM.k_MP=-1）………………………………………9分

設(shè)，則，

化簡(jiǎn)得：

當(dāng)M與P重合時(shí)，也滿(mǎn)足上式。

故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ……………………12分