Question

1．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，AA₁=3，E為CD上一點(diǎn)，DE=1，EC=3
（1）證明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求三棱錐B₁-EA₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）過B作CD的垂線交CD于F，推導(dǎo)出BE⊥BC，BE⊥BB₁，由此能證明BE⊥平面BB₁C₁C．
（2）三棱錐B₁-EA₁C₁的體積：${V}_{{B}_{1}-E{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）過B作CD的垂線交CD于F，
則$BF=AD=\sqrt{2}，EF=AB-DE=1，F(xiàn)C=2$
在$Rt△BFE中，BE=\sqrt{3}，Rt△BFC中，BC=\sqrt{6}$．
在△BCE中，∵BE²+BC²=9=EC²，
∴BE⊥BC，∵BB₁⊥平面ABCD，∴BE⊥BB₁，
∵BC∩BB₁=B，∴BE⊥平面BB₁C₁C，
（2）∵點(diǎn)E到平面A₁₁C₁的距離為AA₁=3，
∴三棱錐B₁-EA₁C₁的體積：
${V}_{{B}_{1}-E{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×A{A}_{1}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$
=$\frac{1}{3}×3×[\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{2}-\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}]$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．