Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，下列判斷正確的是

 

①．滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)  ②．滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)  ③．λ+μ的最大值為3   ④．λ+μ的最小值不存在．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標(biāo)系，對(duì)于①②③④四個(gè)選項(xiàng)逐一分析、判斷即可．

解答： 解：由題意，不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），
所以中

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），
對(duì)于①：當(dāng)λ=μ=1時(shí)，

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（0，1），此時(shí)點(diǎn)P與D重合，滿足λ+μ=2，但P不是BC的中點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：當(dāng)λ=1，μ=0時(shí)，

AP

=（1，0），此時(shí)點(diǎn)P與B重合，滿足λ+μ=1，
當(dāng)λ=

1

2

，μ=

1

2

時(shí)，

AP

=（0，

1

2

），此時(shí)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，滿足λ+μ=1，
故滿足λ+μ=1的點(diǎn)有且只有兩個(gè)，故②正確；
對(duì)于③：當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時(shí)，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
綜上可得0≤λ+μ≤3，故C正確，
對(duì)于④：由③知，0≤λ+μ≤3，λ+μ的最小值為0，故④錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查分析、運(yùn)算與推理能力，屬于難題．