Question

設a∈R，函數(shù)f（x）=-（x-1）²+2（a-1）ln（x+1）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=4x-1，求a的值；
（Ⅱ）當a＜1時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導數(shù)的幾何意義，根據(jù)f′（0）=4建立等式關系，求出a的值即可；
（II）根據(jù)導數(shù)的正負對a進行分類討論，分別判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
解答：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），=
因為f′（0）=4，所以a=2．
（Ⅱ）解：當a＜0時，因為x+1＞0，-2x²+2a＜0
所以f′（x）＜0，故f（x）（-1，+∞）上是減函數(shù)；       
當a=0時，當x∈（-1，0）時，，故f（x）在（-1，0上是減函數(shù)，
x∈（0，+∞）時，，故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
因為函數(shù)f（x）在（-1，+∞），上連續(xù)，所以f（x）在（-1，+∞），上是減函數(shù)；                
當0＜a＜1時，，得x=，或x=
x變化時，f′（x），f（x）的變化如情況下表：

x
f′（x）	_		+		_
f（x）	↓	極小	↑	極大	↓

所以f（x）在上為減函數(shù)、上為減函數(shù)；f（x）上為增函數(shù)．（13分）
綜上，a≤0時，f（x）在（-1，+∞），上是減函數(shù)；
當0＜a＜1時，f（x）上為減函數(shù)、上為減函數(shù)；f（x）上為增函數(shù)．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程的斜率，涉及導數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的單調(diào)性等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．