Question

4．已知等比數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=\frac{1}{2}，2{a_3}={a_2}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若等差數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，滿足b₁=1，S₃=b₂+4，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）求得等比數(shù)列的公比q，由等比數(shù)列的通項公式計算即可得到；
（2）求出等差數(shù)列{b_n}的公差d，運用等差數(shù)列的通項公式，可得b_n，求得a_n•b_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）等比數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=\frac{1}{2}，2{a_3}={a_2}$，
可得公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（2）等差數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，滿足b₁=1，S₃=b₂+4，
設公差為d，則3+3d=5+d，解得d=1，
則b_n=b₁+（n-1）d=n，
a_n•b_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n項和T_n=1•（$\frac{1}{2}$）+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=2-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．