Question

設函數f（x）=a^x-x（a＞0，a≠1）
（1）若a=e（e是自然對數的底數），求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若函數y=f（|x|）在全體實數R上恰有4個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=e代入求出函數解析式，可得導函數的解析式，進而求出f′（x）＞0時和f′（x）＜0時自變量的范圍，得到f（x）的單調區(qū)間，同時根據極值的定義，求出極值；
（2）函數y=f（|x|）是偶函數，要使它在全體實數R上恰有4個零點，只須y=f（x）在（0，+∞）上有2個零點，即lna=

lnx

x

在（0，+∞）有2解，構造函數g(x)=

lnx

x

，利用導數法，可求出滿足條件的實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=e^x-x，則f′（x）=e^x-1…（2分）
當f′（x）＞0時，解得x＞0，f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
當f′（x）＜0時，解得x＜0，f（x）在（-∞，0]上單調遞減．…（2分）
所以x=0是極小值點，f_極小值=f（0）=1…（2分）
（2）函數y=f（|x|）是偶函數，要使它在全體實數R上恰有4個零點，只須y=f（x）在（0，+∞）上有2個零點，…（2分）
要使方程a^x=x在（0，+∞）有2解，則有lna=

lnx

x

在（0，+∞）有2解，…（2分）
設g(x)=

lnx

x

，則g′(x)=

1-lnx

x2

…（1分）
當x＞e時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減，且0＜g(x)＜

1

e

當0＜x≤e時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增，且g(x)≤

1

e

…（4分）
根據圖象可知0＜lna＜

1

e

，
∴1＜a＜e

1

e

…（2分）

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，指數函數的圖象和性質，導數法求函數的單調區(qū)間及最值，其中熟練掌握利用導數確定函數單調區(qū)間和極值的方法步驟是解答的關鍵．