Question

利用單調(diào)性定義證明f（x）=x+

1

x

在（0，1]上是減函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，任意設(shè)x₁，x₂∈（0，1]，然后，作差比較大小，最后，得到結(jié)論即可．

解答： 解：任設(shè)x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)
=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)
=(x1-x2)

(x1x2-1)

x1 x2

，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∵x₁，x₂∈（0，1]，
∴0＜x₁x₂＜1，
∴x₁x₂-1＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=x+

1

x

在（0，1]上是減函數(shù)．

點評：本題需要注意題目條件，利用單調(diào)性的定義證明，容易出現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)直接得到結(jié)論的情形，其次，需要注意函數(shù)單調(diào)性的定義的運用．