Question

 

如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊△所在平面與底面ABC垂直，且ACB=90°，設(shè)AC=2,BC=1.

（Ⅰ）求點A到平面FBC的距離；

（Ⅱ）求二面角A-FB-C的大小.                                 

 

 

                                                                          

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法1：

（Ⅰ）解法1：過A作于D，  ∵△為正三角形，

∴D為的中點.

∵BC⊥平面

∴，

又，

∴AD⊥平面，

∴線段AD的長即為點A到平面的距離.

在正△中，.

∴點A到平面的距離為.…………6分

 (Ⅱ)過點作于，連，由三重線定理知

是二面角的平面角。

在中，

  

.

.

所以，二面角的大小為arctan.

解法二：

取中點連,易知底面，過作直線交。

取為空間直角坐標系的原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系。則.

（Ⅰ）設(shè)平面的一個法向量，

  又

  由

取 得

點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值。

，設(shè)所求距離為.   則  

        =.

        所以，A到平面FBC的距離為.…………6分

（II）設(shè)平面的一個法向量

                      

由                                 

                       

取    

二面角為銳角，

所以，二面角的大小為…………12分