Question

如圖，平面α內(nèi)一橢圓C：

x2

4

+y²=1，F(xiàn)₁、F₂分別是其焦點，P為橢圓C上的點，已知AF₁⊥α，BF₂⊥α，|AF₁|=|BF₂|=1，直線PA、PB和平面α所成角分別為θ、φ．
（1）求證：cotθ+cotφ=4；
（2）若θ+φ=

π

2

，求直線PA與PB所成角的大小．

Answer 1

考點：橢圓的應(yīng)用,余弦定理

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=4，利用直線PA、PB和平面α所成角分別為θ、φ，結(jié)合三角函數(shù)，即可得出結(jié)論；
（2）先求出sin2θ=

1

2

，再利用余弦定理，即可求直線PA與PB所成角的大小．

解答： （1）證明：∵橢圓C：

x2

4

+y²=1，F(xiàn)₁、F₂分別是其焦點，P為橢圓C上的點，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，
∵AF₁⊥α，BF₂⊥α，|AF₁|=|BF₂|=1，直線PA、PB和平面α所成角分別為θ、φ，
∴cotθ+cotφ=|PF₁|+|PF₂|=4；
（2）解：∵cotθ+cotφ=4，θ+φ=

π

2

，
∴cotθ++tanθ=4，
∴sin2θ=

1

2

，
∴cos∠APB=

|AP|2+|BP|2-|F1F2|2

2|AP||BP|

=

csc2θ+sec2θ-12

2csc•secθ

=

1-3sin22θ

2in2θ

=

1

2

，
∴∠APB=60°，即直線PA與PB所成角的大小為60°．

點評：本題考查橢圓的定義，考查線面角，考查余弦定理，正確運用橢圓的定義是關(guān)鍵．