Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2

（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面的距離.

Answer 1

方法一:
(1)證明：連結(jié)OC.
∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.
而AC=2,
∴AO₂+CO₂=AC₂,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
                          

∴AB平面BCD.

（Ⅱ）解：取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC.

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.

在△OME中，

是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴

∴

∴異面直線AB與CD所成角的大小為

（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.

,

∴?S_△ACD =?AO?S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=

而AO=1, S_△CDE=

∴h=

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為.

方法二：

（Ⅰ）同方法一：

（Ⅱ）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，

C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0),

∴

∴異面直線AB與CD所成角的大小為

（Ⅲ）解：設(shè)平面ACD的法向量為,則          

∴

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一個(gè)法向量.
又

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離
h=