Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）函數(shù)定義域為，求出導(dǎo)函數(shù)，通過，，判斷導(dǎo)函數(shù)符號，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）運用分析法轉(zhuǎn)化證明，要證，只需證，法一中要證，只需證：，令，求導(dǎo)判斷導(dǎo)數(shù)值符號即可；法二中只需證，設(shè)，，在上恒成立，求出，的最值進行比較即可；法三中只需證：.設(shè)，判斷，函數(shù)單調(diào)遞增，，證明即可.

（1）函數(shù)定義域為，

.

①若時，則，在上單調(diào)遞減；

②若時，，令或.

又，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

③若時，，

令或.

又，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）法一：，，

要證，只需證，

只需證：，

只需證：，設(shè)，

即，

在上單調(diào)遞減，所以，即原不等式成立.

法二：要證，只需證，

，只需證，

設(shè)，，

在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增.

所以，

，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，

所以當(dāng)時，，

即原不等式成立.

法三：，.

要證：成立，

只需證：.

設(shè)，

，

所以在上單調(diào)遞增，

所以.

即原不等式成立.