Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-x（a≠0）．
（1）討論F（x）=（1-2a）f（x）+g（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)F（x）得出F′（x）=$\frac{1-2a}{x}$+2ax-1，（x＞0），即F′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$（x＞0），分類討論解不等式$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＞0（x＞0）$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＜0（x＞0）判斷單調(diào)性即可，
判斷$\frac{1-2a}{2a}$-1的符號(hào)，判斷$\frac{1-2a}{2a}$與1的大小關(guān)系以及$\frac{1-2a}{2a}$的正負(fù)問(wèn)題，得出分類的標(biāo)準(zhǔn)：：當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)0$＜a≤\frac{1}{4}$時(shí)，當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a$≤\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)a$＞\frac{1}{2}$時(shí)．
（2）不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax²-x，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，而h（x）=x（ax-1），①a≤0時(shí)，g（x）和h（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)圖象一目了然．

解答 解：（1）f（x）=lnx，g（x）=ax²-x（a≠0）．
F（x）=（1-2a）f（x）+g（x）=（1-2a）lnx+ax²-x，
F′（x）=$\frac{1-2a}{x}$+2ax-1，（x＞0），
F′（x）=$\frac{1-2a}{x}$+2ax-1，（x＞0），
即F′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$（x＞0）
令h（x）=2ax²-x+1-2a=[2ax-（1-2a）][x-1]=0，
當(dāng)a≠0時(shí)，x=$\frac{1-2a}{2a}$或x=1
i）當(dāng)a=0時(shí)，x＞1，F(xiàn)′（x）＞0，
0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增．
ii）當(dāng)a＜0時(shí)，∵$\frac{1-2a}{2a}$＜-1＜1，
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減．
iii）當(dāng)a＞0時(shí)，∵$\frac{1-2a}{2a}$-1=$\frac{1-4a}{2a}$，
∴當(dāng)0$＜a≤\frac{1}{4}$時(shí)，$\frac{1-2a}{2a}$＞0，$\frac{1-2a}{2a}$＞1，
∴$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＞0時(shí)，0＜x＜1或x$＞\frac{1-2a}{2a}$；
$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＜0時(shí)，1$＜x＜\frac{1-2a}{2a}$，
即F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（$\frac{1-2a}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增，（1，$\frac{1-2a}{2a}$）上單調(diào)遞減
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a$≤\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-2a}{2a}$＞0，$\frac{1-2a}{2a}$＜1，
∴$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＞0時(shí)，0＜x＜$\frac{1-2a}{2a}$或x＞1；
$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＜0時(shí)，$\frac{1-2a}{2a}$＜x＜1，
即F（x）在（0，$\frac{1-2a}{2a}$）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞增，（$\frac{1-2a}{2a}$，1）上單調(diào)遞減
當(dāng)a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-2a}{2a}$＜0，
∴$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＞0時(shí)，x＞1；
$\frac{2a{x}^{2}-x+1-2a}{x}$＜0時(shí)，0＜x＜1，
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上：當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)0$＜a≤\frac{1}{4}$時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（$\frac{1-2a}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增，（1，$\frac{1-2a}{2a}$）上單調(diào)遞減
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a$≤\frac{1}{2}$時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，$\frac{1-2a}{2a}$）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞增，（$\frac{1-2a}{2a}$，1）上單調(diào)遞減
當(dāng)a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，1）上單調(diào)遞遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）若函數(shù)f（x）=lnx-ax²+x有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax²-x，
將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，
而h（x）=x（ax-1），
①a≤0時(shí)，g（x）和h（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，
②
如圖示：
，
∴a＞0，
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性，分類討論解不等式，本題討論較麻煩，一定要思路清晰，并且結(jié)合函數(shù)的圖象解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，難度較大．