Question

設(shè)a_i>0（i=1,2,…,n）.

考查①a₁·≥1,②（a₁+a₂）（+）≥4,③（a₁+a₂+a₃）（++）≥9后，歸納出對(duì)a₁,a₂,…,a_n也成立的類似不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

Answer 1

分析:由①②③歸納出類似的不等式并不難，關(guān)鍵是如何證明.要注意用上歸納假設(shè)及式子的變化.

解:由①②③我們可以得出不等式

（a₁+a₂+…+a_n）（++…+）≥n²

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式

（1）當(dāng)n=1時(shí)，由題設(shè)知不等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)不等式成立，即

（a₁+a₂+…+a_k）（++…+）≥k²

那么當(dāng)n=k+1時(shí)

（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）（++…++…+）

=（a₁+a₂+…+a_k）（++…+）+a_k+1

（++…+）+（a₁+a₂+…+a_k）+a_k+1·≥k²+1+（+）+（+）+…+（+）≥k²+1+=k²+1+2k=（k+1）².

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.

由（1）（2）知，對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式恒成立.