Question

13．函數g（x）=$\frac{2m}{（x+1）|x-m|}$，x∈[1，2]，g（x）≥$\frac{2x}{x+1}$恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得m≥x|x-m|對x∈[1，2]恒成立，即有-$\frac{m}{x}$≤x-m≤$\frac{m}{x}$恒成立，即有m≤$\frac{{x}^{2}}{x-1}$且m≥$\frac{{x}^{2}}{x+1}$在x∈[1，2]恒成立，由基本不等式和函數的單調性，即可得到最值，進而得到m的范圍．

解答 解：x∈[1，2]，g（x）≥$\frac{2x}{x+1}$恒成立，即為
m≥x|x-m|對x∈[1，2]恒成立，
即有-$\frac{m}{x}$≤x-m≤$\frac{m}{x}$恒成立，
即有m≤$\frac{{x}^{2}}{x-1}$且m≥$\frac{{x}^{2}}{x+1}$在x∈[1，2]恒成立，
由$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2=4，
當且僅當x=2，取得最小值4，
即有m≤4①
由$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-2在[1，2]遞增，
即有x=2取得最大值$\frac{4}{3}$，
即為m≥$\frac{4}{3}$②
由①②可得實數m的取值范圍為[$\frac{4}{3}$，4]．

點評 本題考查不等式的恒成立問題，注意運用參數分離和函數的單調性及基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．