Question

4．“雙十一”期間，某經(jīng)銷商試銷M，N兩種商品，為了調(diào)查顧客對(duì)M，N兩種商品的滿意程度，對(duì)顧客進(jìn)行了問卷調(diào)查，參與調(diào)查的M，N兩種商品件數(shù)相同，成績分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，已知M，N兩種商品的調(diào)查成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分別如圖所示，其中M商品的成績等級(jí)為B的有10件．
（I）求調(diào)查問卷中N商品的成績等級(jí)為D的件數(shù)，若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，求調(diào)查問卷中M商品成績的平均分；
（Ⅱ）若從本次調(diào)查問卷的成績等級(jí)為D的商品中任取2件，記這2件商品中M商品的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出調(diào)查問卷中N商品的成績等級(jí)為D的頻率和參與調(diào)查的M，N兩種商品件數(shù)，由此能求出調(diào)查問卷中N商品的成績等級(jí)為D的件數(shù)和調(diào)查問卷中M商品成績的平均分．
（Ⅱ）求出調(diào)查問卷中M商品的成績等級(jí)為D的件數(shù)，從而得到X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）調(diào)查問卷中N商品的成績等級(jí)為D的頻率為：
1-0.025-0.150-0.375-0.375=0.075．
設(shè)調(diào)查問卷中N商品的成績等級(jí)為D的件數(shù)為x，
∵M(jìn)商品的成績等級(jí)為B的有10件，參與調(diào)查的M，N兩種商品件數(shù)相同，
∴參與調(diào)查的M，N兩種商品件數(shù)都是：$\frac{10}{0.250}$=40，
∴$\frac{x}{40}=0.075$，解得x=3．
∵等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，
∴調(diào)查問卷中M商品成績的平均分：5×0.375+4×0.250+3×0.200+2×（1-0.375-0.250-0.200-0.075）+1×0.075=3.75．
（Ⅱ）調(diào)查問卷中M商品的成績等級(jí)為D的件數(shù)為0.1×40=4，
∴X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{3}{21}$=$\frac{1}{7}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{6}{21}$=$\frac{2}{7}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

EX=$0×\frac{1}{7}+1×\frac{4}{7}+2×\frac{2}{7}$=$\frac{8}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．