Question

若存在實數a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0對于任意的x∈[0，1]都成立，則實數b的取值范圍是

b＜-3+2

2

．

Answer 1

分析：①當x=0時a取任意實數不等式恒成立；②當0＜x≤1時f（x）＜0恒成立，再轉化為x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立問題，下面利用函數g（x）=x+

b

x

的最值從而得解．

解答：解：問題等價于：當0≤x≤1時，x|x-a|+b＜0恒成立，當x=0時a取任意實數不等式恒成立
也即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立
令g（x）=x+

b

x

在0＜x≤1上單調遞增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-

b

x

，則h（x）在（0，

-b

]上單調遞減，[

-b

，+∞）單調遞增
1°當b＜-1時h（x）=x-

b

x

在0＜x≤1上單調遞減
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°當-1≤b＜2

2

-3時，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，
∴a＜h_min（x）=2

-b

，∴1+b＜a＜2

-b

．
故可知b＜-3+2

2

時，存在實數a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0對于任意的x∈[0，1]都成立
故答案為：b＜-3+2

2

．

點評：本題的考點是函數恒成立問題，主要考查不等式的解法，考查運算求解能力，化歸與轉化思想，有一定的難度．