Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；

（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）

【解析】

（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，對分成和兩種情況討論，從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對函數(shù)求導(dǎo)得，從而有，，，三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，從而得到的取值范圍.

解：（1）由，，

則，

當(dāng)時，則，故在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，令，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）∵，

,

由得，

∴，，∴

∵∴解得.

∴.

設(shè)，

則,

∴在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，.

∴，即所求的取值范圍為.