Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx（a∈R），
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有m+ln2＞| f（x₁）-f（x₂）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），   
當(dāng)a=1時，，
令f′（x）=0，得x=1，  
當(dāng)時，；當(dāng)x＞1時，；  
∴，無極大值。
（Ⅱ）       
=，
當(dāng)，即a=2時，，
f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；      
當(dāng)，即時，令得或x＞1；    
令得；     
當(dāng)，即時，令得或；      
令得；
綜上，當(dāng)a=2時，f（x）在定義域上是減函數(shù)； 
當(dāng)時，f（x）在和（1，+∞）單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，f（x）在（0，1）和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a∈（3，4）時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1時，f（x）有最大值，當(dāng)x=2時，f（x）有最小值，
∴，
∴，而a＞0，
經(jīng)整理得，
由3＜a＜4得，
所以。