Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)，其中.定義數(shù)列如下：，.

（I）當時，求的值；

（II）是否存在實數(shù)m，使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)的值，若不存在，請說明理由；

（III）求證：當時，總能找到，使得.

 

Answer 1

【答案】

 

(1)  ，，.

(2) 

(3)  略

【解析】解：（Ｉ）因為，，所以，

，.                   …………4分

（II）方法一：假設(shè)存在實數(shù)，使得構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.

由（I）得到，，

.因為成等差數(shù)列，

所以，           …………6分

所以，，       化簡得，

解得（舍）,.  …………8分

經(jīng)檢驗，此時的公差不為0，

所以存在，使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.  …………9分

方法二：因為成等差數(shù)列，

所以，   …………6分

即，

所以，即.

因為，所以解得.    …………8分

經(jīng)檢驗，此時的公差不為0.

所以存在，使構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列.  …………9分

  （III）因為,

又 ,  所以令.

由，

    ，

     ……

     ，將上述不等式全部相加得，即，

因此只需取正整數(shù)，就有.………14分