Question

8．如圖，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右支上（x軸上方），連結(jié)AP交C₁與點(diǎn)C，連結(jié)PB并延長(zhǎng)交C₁于點(diǎn)D，且△ACD與△PCD的面積相等，求直線PD的斜率及直線CD的傾斜角．

Answer 1

分析 由△ACD與△PCD的面積相等，可得C為AP的中點(diǎn)，A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（m，n），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)P，C滿足雙曲線方程和橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，可得C的坐標(biāo)，由直線的斜率公式，可得PD的斜率，再求D的坐標(biāo)，即可得到直線CD的傾斜角．

解答 解：由△ACD與△PCD的面積相等，可得C為AP的中點(diǎn)，
A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（m，n），則C（$\frac{m-2}{2}$，$\frac{n}{2}$），
由P在雙曲線上，C在橢圓上，可得
$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，$\frac{（m-2）^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{12}$=1，
解得m=4，n=3．
即有P（4，3），C（1，$\frac{3}{2}$），
PD的斜率為$\frac{3-0}{4-2}$=$\frac{3}{2}$，
直線PD：y=$\frac{3}{2}$（x-2），代入橢圓方程可得，
x²-3x+2=0，解得x=1或2，
即有D（1，-$\frac{3}{2}$），
則直線CD的傾斜角為90°．
故直線PD的斜率為$\frac{3}{2}$，直線CD的傾斜角為90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程和雙曲線方程的運(yùn)用，考查直線的斜率和傾斜角的求法，注意直線方程和曲線方程聯(lián)立，屬于中檔題．