Question

已知函數f(x)=

2x-t

x2+3

(t∈R)．
（1）若關于x的方程x²-tx-3=0的兩實數為a，b（a＜b），試判斷函數f（x）在區(qū)間（a，b）上的單調性，并說明理由；
（2）若函數f（x）的圖象在x=-1處的切線斜率為

1

2

，求當x＞0時，f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知，對函數求導，結合已知可判斷f′（x）的符號，從而可判斷函數在（a，b）上的單調性．
（2）由（1）及已知可得，f′（-1）=

-2(1+t-3)

16

=

1

2

可求t，當x＞0時，代入f（x）=

2(x+1)

3+x2

=

2(x+1)

(x+1)2-2(x+1)+4

=

2

(x+1)+ 4 x+1 -2

，利用基本不等式可求f（x）的最大值

解答：解：（1）∵f′(x)=

2(x2+3)-2x(2x-t)

(x2+3)2

=

-2(x2-tx-3)

(x2+3)2

=-

2(x-a)(x-b)

(x2+3)2

＞0
∴函數f（x）在區(qū)間（a，b）上的單調遞增      （5分）
（2）由（1）及已知可得，f′（-1）=

-2(1+t-3)

16

=

1

2

∴t=-2    （7分）
當x＞0時，由f（x）=

2(x+1)

3+x2

=

2(x+1)

(x+1)2-2(x+1)+4

=

2

(x+1)+ 4 x+1 -2

≤

2

2 (x+1)• 4 x+1 -2

=1    （11分）
當且僅當x+1=

4

x+1

即x=1時取等號
∴f（x）的最大值為1（12分）

點評：本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，導數的幾何意義的應用及基本不等式在函數的最值求解中的應用，屬于函數知識的綜合性應用