Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）求在上的單調(diào)性及極值；

（2）若，對任意的，不等式都在上有解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在遞減， 遞增，極小值，無極大值；（2）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接利用求導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性和極值. （2）轉(zhuǎn)化成證明g(x)的最大值小于零，在上， 有解，再證明，只需存在使得即可，

試題解析：

（1）當(dāng)時， ， ，

令，∴

∴在遞減， 遞增，

∴極小值，無極大值.

（2）因為，令， ，

則為關(guān)于的一次函數(shù)且為減函數(shù)，

根據(jù)題意，對任意，都存在，使得成立，

則在上， 有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令，∵，∴，

∴在上單調(diào)遞增， ，

①當(dāng)，即時， ，即，

∴在上單調(diào)遞增，∴，不符合題意.

②當(dāng)，即時， ， ，

若，則，所以在上恒成立，即恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，

∴存在使得，符合題意.

若，則，∴在上一定存在實數(shù)，使得，

∴在上恒成立，即恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，

∴存在使得，符合題意.

綜上所述，當(dāng)時，對任意的，都存在，使得成立.