Question

7．函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+a）^{2}，x≤0}\\{x+\frac{1}{x}+a，x＞0}\end{array}\right.$，若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍為（　　）

• A． [-1，0]
• B． [-1，2]
• C． [1，2]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 由分段函數可得當x=0時，f（0）=a²，由于f（0）是f（x）的最小值，則（-∞，0]為減區(qū)間，即有a≤0，則有a²≤x+$\frac{1}{x}$+a，x＞0恒成立，運用基本不等式，即可得到右邊的最小值2+a，解不等式a²≤2+a，即可得到a的取值范圍．

解答 解：由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+a）^{2}，x≤0}\\{x+\frac{1}{x}+a，x＞0}\end{array}\right.$，
則當x=0時，f（0）=a²，
由于f（0）是f（x）的最小值，
則（-∞，0]為減區(qū)間，即有a≤0，
則有a²≤x+$\frac{1}{x}$+a，x＞0恒成立，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當且僅當x=1取最小值2，
則a²≤2+a，解得-1≤a≤2．
綜上，a的取值范圍為[-1，0]．
故選：A．

點評 本題考查分段函數的應用，考查函數的單調性及運用，同時考查基本不等式的應用，是一道中檔題．