Question

【題目】設(shè)點是軸上的一個定點，其橫坐標(biāo)為（），已知當(dāng)時，動圓過點且與直線相切，記動圓的圓心的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，若直線與曲線相切于點（），且與以定點為圓心的動圓也相切，當(dāng)動圓的面積最小時，證明： 、兩點的橫坐標(biāo)之差為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由切線的性質(zhì)知點到點的距離與到直線的距離相等，即點的軌跡為以點為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得方程；

（Ⅱ）設(shè)出直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用相切（判別式為0）可得斜率，點到此直線的距離就是圓的半徑，變形為用基本不等式求出它的最小值，而最小值時恰好有，結(jié)論得證．

試題解析：

（Ⅰ）因為圓與直線相切，所以點到直線的距離等于圓的半徑，

所以，點到點的距離與到直線的距離相等.

所以，點的軌跡為以點為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

所以圓心的軌跡方程，即曲線的方程為．

（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由得，

又，所以，

因為直線與曲線相切，所以，解得．

所以，直線的方程為．　

動圓的半徑即為點到直線的距離.

當(dāng)動圓的面積最小時，即最小，而當(dāng)時；

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

所以當(dāng)動圓的面積最小時， ，

即當(dāng)動圓的面積最小時， 、兩點的橫坐標(biāo)之差為定值.