Question

求證：cotα+cot2α+cot4α=

2+2cos2α+3cos4α

sin4α

．

Answer 1

分析：要證cotα+cot2α+cot4α=

2+2cos2α+3cos4α

sin4α

，只需證明（cotα+cot2α+cot4α）sin4α=3cos4α+2cos2α+2
左邊余切化為只需、余弦，利用二倍角的正弦和余弦化簡，直到證明出3cos4α+2cos2α+2即可．

解答：證明：因為（cotα+cot2α+cot4α）sin4α=(

cosα

sinα

+

cos2α

sin2α

+

cos4α

sin4α

)sin4α
=

cosαsin4α

sinα

+

cos2αsin4α

sin2α

+

cos4α

sin4α

•sin4α
=cos4α+2cos²2α+4cos²αcos2α
=cos4α+2cos2α（2cos²α+cos2α）
=cos4α+2cos2α+4cos²2α
=3cos4α+2cos2α+2
所以cotα+cot2α+cot4α=

2+2cos2α+3cos4α

sin4α

等式成立．

點評：本題是基礎題，考查弦切互化，二倍角的正弦、余弦公式的應用，證明的思路：由左至右；或者由右至左，或證明等式的變形式．